Ako sa počíta pravdepodobnosť splnenia záväzku

Nasledujúce rozdanie pochádza z jarného kola prvej ligy. Peter Hora vo svojom článku oponoval môjmu hodnoteniu, že 6pikov  je 3% slem. Medzičasom vyšlo najavo, že šlo o nedorozumenie (viď diskusiu k článku). Keďže ale téma hodnotenia šance záväzku na splnenie je zaujímavá obecne, tak skúsim o nej niečo napísať, pričom dotyčné rozdanie použijem ako príklad. Témou bude:

• ako sa vlastne pravdepodobnosť splnenia záväzku počíta
• záväzok s akou pravdepodobnosťou môžeme pokladať za licitačne oprávnený.
• prečo je to dôležité vedieť

Výpočet pravdepodobnosti splnenia záväzku

Najprv pokus o definíciu: šanca na splnenie záväzku sa hodnotí na základe konkrétnych kariet, ktoré hráči zohrávajúcej linky majú. Na základe týchto kariet sa pomocou pravdepodobnosti výskytu možných rozlôh u obrancov spočíta šanca na splnenie záväzku.

Pripomeňme si rozdanie:

V našom rozdaní sú podmienky pre splnenie slemu jasné. Vo vedľajších farbách žiaden problém na prvý pohľad nie je, respektíve tieto farby pre zjednodušenie výpočtu zanedbáme. Musíme sa vysporiadať aj s tým, že GIB by slem označil za nesplniteľný, lebo ho môže poraziť srdcový výnos. GIB  však vynáša double dummy, v praxi všade prichádzal (normálny) kárový výnos. Teoreticky teda hodnotíme šancu na splnenie po károvom výnose, na druhej strane je to výnos štandardný. Splnenie závisí v prvom rade od počtu zdvihov v tromfovej farbe. Hlavný hráč musí zobrať v pikoch štyri zdvihy.

Je treba teda spočítať alebo zistiť pravdepodobnosť, že hlavný hráč získa v pikoch – teda vo farbe, kde mu chýba päť kariet a medzi nimi AQ10- štyri zdvihy. Vyhľadal som si kartovú kombináciu zodpovedajúcu takejto rozlohe pikov v oficiálnej bridžovej encyklopédii. Encyklopédia uvádza všetky možné kartové kombinácie a pravdepodobnosť zisku určitého počtu zdvihov pre danú kombináciu. Pre túto kombináciu sú to 3%.

Tým by sme mohli mať odhad vybavený, ale odkaz na zdroj, ktorý každý nemá, nepostačuje. Bolo by dobré mať po ruke zdroj, kde si každý môže preveriť akúkoľvek kombináciu kariet a šancu na zisk potrebných zdvihov. Občasné hrabanie sa v takýchto údajoch cibrí kartový cit hráča a napovie, ako sa má hrať kombinácia zadaných kariet na zisk potrebného počtu zdvihov.

Na tento účel môže poslúžiť program Bridge cards combination analyzer. Online program umožňuje zadať ľubovoľnú rozlohu kariet, počet zdvihov a potom zanalyzuje, aká je šanca na získanie daného počtu zdvihov. Ak do programu zadáme rozlohu pikov z nášho rozdania, tak po analýze uvedie dve rozlohy kariet, pri ktorých sa dajú zobrať 4 zdvihy. Je to rozloha 4-1 so singl dámou pred kráľom a rozloha 3-2 s dubl AQ pred kráľom: šanca je spolu 6,22%. Keďže však pri rozlohe 4-1 so singl dámou(šanca 2,83%) obrana po evidentnom károvom výnose (prišiel na každom stole) donúti stôl, aby prebil ďalšie kolo kár, tak sa desiatka tromfová stane nevyimpasovateľná a slem je pri rozlohe 4-1 nesplniteľný. Zostáva nám teda rozloha pikov 3-2 s dubl AQ pred kráľom. Šanca na túto rozlohu je teda 3.39%.

Existuje aj jednoduchšie overenie šance na slem. Stačí použiť tabuľky o rozlohe kariet. Tabuľky sú napríklad tu. Rozloha 3-2 má pravdepodobnosť zhruba 68% (medzi expertmi notoricky známe číslo), počet možných kombinácii je 20. Len jediná z nich, dubl AQ pred kráľom, umožňuje splniť slem. Presný údaj pre túto možnosť uvedený v tabuľke je opäť 3.39% (cca 68/20).

Hodnotenie rentability licitovaných záväzkov

S témou výpočtu šance na splnenie záväzku je úzko spojená otázka, kedy sa oplatí dotyčný záväzok zalicitovať. Je ziskové licitovať 30% alebo 60% záväzky? Ako zistíme, ktorá hodnota je správna? Odpoveď dáva trochu bridžovej matematiky. Skúsme najprv nájsť odpoveď u rentability licitovania hier v prvej hre.

Ak zalicitujeme 4srdcia v prvej hre a záväzok splníme, tak zapíšeme 420. Ak súperi zalicitujú len 3srdcia a splnia za 170, tak sme vďaka rozdielu 420-170=250 získali 6 impov. Ak 4srdcia padneme za 50 a súperi splnia za 140, tak naša strata je 5impov.

Čísla si teraz dosadíme do rovnice, ktorá slúži pre výpočet percentuálnej rentability licitácie hry, ktorú nazveme R:

(impy_ziskané * R)- (impy_stratené*(1-R)=0

a po dosadení zjednodušene dostaneme

6R – 5 (1 – R) = 0, alebo 11R = 5, alebo R = 5/11 (= 0.45 alebo 45%).

Z výsledku vyplýva, že pokiaľ počítame pri licite hry len s jedným rozdielovým zdvihom, tak sa hru oplatí licitovať, ak jej šanca je 45%.

Teraz prejdime ku malému slemu. Ak malý slem v drahej farbe v prvej hre záleží na jednom zdvihu a my ho licitujeme, kým súperi nie, tak pokiaľ slem splníme, tak získame 11 impov. Ak ho padneme, tak 11 impov stratíme. Je zrejmé, že R slemu je v takomto prípade 50%. 50% znamená, že ak sa takéto niečo stane dvakrát, tak podľa pravdepodobnosti raz slem padneme a raz slem splníme. Raz 11 impov získame, raz 11 impov stratíme. V súčte sme na nule.

Rovnako môžeme spočítať tzv. rentabilitu (alebo ziskovosť či stratovosť) licitácie hry, slemu či veľkého slemu pre každý stav hier a zároveň aj pre lacnú či drahú farbu. Zistíme, že rozdiely existujú, ale nie sú veľké, zvyčajne kolíšu plus mínus okolo 50%. Existuje zhruba 6% rozdiel medzi malým a veľkým slemom, ktorí niektorí zanedbávajú, iní ho rešpektujú. Jediným naozaj výraznejším rozdielom je licitácia hier v druhej hre, kde R je na úrovni cca 38%. Toto číslo sa interpretuje tak, že v druhej hre máme pri licitácii hier pritlačiť. Dôvod?  Ak splníme len jednu z troch vylicitovaných hier, tak síce strácame, ale naše straty sú znesiteľné. Ak však splníme dve z troch vylicitovaných hier, tak sme už vo výraznom pluse oproti súperom, ak tie tri hry nelicitovali.

Z predošlých úvah o rentabilite vyplýva, že ak chceme ohodnotiť kvalitu záväzku, tak pravdepodobnosť jeho splnenia treba porovnať s príslušnou rentabilitou. Začnime zase u hier. Ak hráme hru v prvej hre, ktorej splnenie závisí na jednom impase, tak hráme hru s 50% šancou, čiže sme zhruba na hranici rentability. Ak hráme hru, ktorej splnenie závisí na jednom z dvoch impasov, máme šancu 75% a máme dosť smolu, ak ju nesplníme. Ak však na splnenie potrebujeme, aby sedeli dva impasy, tak hráme hru, ktorá má šancu len 25%a teda máme dosť sťastie, ak ju splníme.

To isté platí aj pre slemy. Ak hráme slemy na impas, tak raz splníme, raz padneme. V súčte sme na nule. Ak hráme slem, ktorý potrebuje 2 impasy, slem má šancu 25%. Každý ďalší potrebný impas predelí toto číslo na polovicu. Zhodou okolností slem, ktorý potrebuje 5 impasov, má šancu 3.125%, čiže číslo blízke ku šanci na splnenie 6pikov v našom rozdaní. Zjednodušene možno povedať, že slem mal rovnakú šancu ako slem na 5 impasov a teda bol rentabilný vďaka naozaj šťastnej rozlohe.

Prečo je toto všetko dôležité?

Úvahy tohto druhu nám môžu niečo povedať o efektivite nášho licitačného systému a aj hráčov. Samozrejme, chce to štatistické sledovanie. Ale vypovedajú aj o tom, či sa niektorý záväzok mal lebo nemal licitovať. To je otázka, ktorú si hráči bežne dávajú. Mali sme hrať 4srdcia? Aká bola šanca na splnenie? Povedzme, že 42%. Rentabilita teraz hovorí, že v prvej hre sa tento záväzok nemal hrať, kým v druhej áno. Alebo iná otázka. Mali sme hrať 3nt alebo 5kár? Odpoveď môže v sebe skrývať rôzne aspekty, ale v prvom rade ju dáva výpočet šancí na splnenie oboch záväzkov.

Zjednodušene možno povedať, že záväzky majúce šancu na splnenie nad hranicou rentability treba licitovať a to tým skôr, čím viac sú od R vzdialené. A platí aj opak. Záväzky pod hranicou rentability by sa licitovať nemali (mimo niektorých strategických situácií alebo taktických situácií, ktoré teraz vynechajme) a to tým skôr, čím viac sú od R vzdialené. Tieto vety možno vyzerajú ako nosenie vody do potoka, ale majú za cieľ podčiarknúť súvislosti a hlavne ukázať, že tieto poznatky pôsobia ako spätná väzba pôsobia na hodnotenie karty hráčom, prípadne na vylepšenie licitačného systému.

Autor: E. Velecký